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Das Vektorpotential ist im Bereich der Vektoranalysis ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld erzeugt.

Formal lautet die Definition eines Vektorpotentials A → → {\displaystyle {\vec {A}}} für ein festes Vektorfeld V → → {\displaystyle {\vec {V}}} mit dem Nabla-Operator ∇ ∇ → → {\displaystyle {\vec {\nabla }}}

V → → = r o t A → → = ∇ ∇ → → × × A → → {\displaystyle {\vec {V}}=\mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}

Der Zusammenhang ist analog zum Skalarpotential und seinem Gradientenfeld.cite-ref-0-1-0[1]

Historisch war das magnetische Vektorpotential der Anlass, das Vektorpotential zu beschreiben. Es wurde eingeführt, um in der klassischen Elektrodynamik Berechnungen mit der magnetischen Flussdichte und der elektromagnetischen Induktion zu vereinfachen.cite-ref-2[2]

• Berechnung

• Uneindeutigkeit

• Eigenschaften des erzeugten Feldes

• Anwendung

• Einzelnachweise

Sei V → → : : R 3 → → R 3 {\displaystyle {\vec {V}}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} ein zweifach stetig differenzierbares, quellfreies Vektorfeld, das für ‖ ‖ x → → ‖ ‖ → → ∞ ∞ {\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert \to \infty } mindestens so schnell abfällt wie 1 ‖ ‖ x → → ‖ ‖ {\displaystyle {\frac {1}{\lVert {\vec {x}}\rVert }}} . Dann ist durch

A → → ( x → → ) = 1 4 π π ∫ ∫ R 3 ∇ ∇ y × × V → → ( y → → ) ‖ x → → − − y → → ‖ d 3 y {\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times {\vec {V}}({\vec {y}})}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\right\|}}\,d^{3}y} ,

ein Vektorpotential A → → {\displaystyle {\vec {A}}} von V → → {\displaystyle {\vec {V}}} definiertcite-ref-0-1-1[1].

Dies ist ein Spezialfall des Helmholtz-Theorems.

Das Vektorpotential eines quellfreien Vektorfeldes ist nicht eindeutig definiert. Ist A → → {\displaystyle {\vec {A}}} ein Vektorpotential von V → → {\displaystyle {\vec {V}}} , so ist auch

A → → + ∇ ∇ → → f {\displaystyle {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f}

ein Vektorpotential von V → → {\displaystyle {\vec {V}}} für beliebige, stetig differenzierbare Skalarfelder f {\displaystyle f} . Dies folgt aus der Rotationsfreiheit von Gradientenfeldern. In der Physik wird diese Eigenschaft des Vektorpotentials unter dem Thema Eichtransformation behandelt.cite-ref-0-1-2[1]

Wenn ein Vektorfeld durch ein Vektorpotential erzeugt werden kann, muss es ein quellfreies Vektorfeld sein.

Dies liegt daran, dass die Divergenz einer Rotation immer Null ist.

d i v V → → = d i v r o t A → → = 0 {\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {V}}=\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,{\vec {A}}=0}

Das Vektorpotential wird vor allem in der Physik angewendet. Beispiele dafür sind

• das Magnetische Vektorpotential und

• das Elektrische Vektorpotential

cite-note-0-11. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5.

cite-note-22. ↑ A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X, S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143.